También se detallan diferentes usos de los métodos de análisis aplicados sobre los sistemas complejos de interés.

• APLICACIONES

Los métodos de análisis aplicados sobre sistemas complejos poseen una amplia utilidad:

• Redes sociales: se examina la estructura de las relaciones existentes entre personas: la centralidad, el índice de poder de cada individuo y la conformación de grupos cohesivos. Son ejemplos de redes sociales: las redes políticas, las redes académicas, las redes profesionales y las células terroristas.

• Organizaciones: se analizan situaciones de toma de decisión donde intervienen muchas variables y relaciones de diversa tipología, por ejemplo:

• Al reestructurar las plantillas por necesidades coyunturales de las empresas se reducen los costes de nómina pero: ¿qué tipo de efectos provoca dentro del sistema esta decisión?, ¿qué porcentaje del sistema se beneficia con ella?, ¿se identificaron todos los elementos involucrados?, ¿empeora el desempeño del sistema?.

• ¿Las políticas en la organización permiten el desempeño armónico de todas las personas, recursos y sistemas para maximizar su sinergia?.

Es necesario conocer la estructura sobre la que se desarrolla la toma de decisiones a fin de administrar óptimamente la organización evitando que la entropía la destruya paulatinamente.

• Relaciones entre blogs: se identifican los enlaces, citas, comentarios y tags. El peso de cada uno permite establecer el grado de vecindad: afinidad de contenidos, relaciones directas existentes, etc.

• Redes de telecomunicación:

– Se encuentran modelos matemáticos que:

• Reproducen y explican sus propiedades topológicas.

• Respaldan los diversos procesos que ocurren en ella.

– Se efectúan predicciones sobre su comportamiento ante fallos y su evolución (se dan pautas para la planificación orientada).

– Se estudia el efecto de la complejidad en la afectación del servicio.

• ALGUNAS DEFINICIONES

Un sistema complejo está compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas, cuyos vínculos contienen información adicional y oculta al observador. Como resultado de las interacciones entre elementos surgen propiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de las de los elementos aislados. Dichas propiedades se denominan propiedades emergentes [1].

Los ecosistemas, los seres vivos, las organizaciones, las redes de telecomunicación y las sociedades son ejemplos típicos de sistemas complejos. La mayoría de los sistemas compuestos por muchos elementos son complejos, algo ya intuido a comienzos del siglo XX, como reflejó Weaver en su artículo 'Science and Complexity' publicado en American Scientist, en 1948.

Uno de los métodos de análisis de estos sistemas es la Teoría de Redes.

Las redes son conjuntos de muchos nodos conectados que interactúan entre ellos. A los nodos de una red también se les llama vértices o elementos, y se representan por los símbolos v1, v2, …, vN, donde N es el número total de nodos en la red. Si un nodo vi está conectado con otro nodo vj, esta conexión se representa por una pareja ordenada (vi, vj).

Existen varios tipos de redes o, lo que es igual, diversas clases de nodos y conexiones. En el caso de la sociedad la red está constituida por las personas (nodos) y los lazos que existen entre ellas (conexiones). En el caso de Internet la red está formada por ordenadores (nodos) y los enlaces entre ellos (conexiones).

Una red puede contener grupos de nodos que están conectados entre sí pero no con el resto de la red. Estos grupos se denominan Islas.

Los nodos altamente conectados se denominan hubs.

• ESTUDIO DE LAS REDES

Propiedades de las redes

En el estudio de las redes es necesario efectuar un análisis estructural para determinar las propiedades topológicas más importantes, que son las siguientes:

• Distribución de Grados (o vecinos) P (k): Probabilidad de que un nodo escogido al azar tenga k conexiones (o vecinos).
• Coeficiente de Clustering ó Transitividad C: Probabilidad de que dos nodos conectados directamente a un tercer nodo, estén conectados entre sí.
• Longitud Mínima Lij entre dos nodos vi y vj : Número mínimo de saltos necesarios para llegar de un nodo vi a otro nodo vj de la red.
• Longitud Promedio de la Red L: Promedio de las longitudes mínimas Lij entre todas las posibles parejas de nodos (vi, vj) de la red.

Además de estudiar las características estructurales de la red también es importante analizar sus propiedades dinámicas una vez que se conoce la forma en que interactúan los nodos: sincronización de sus elementos, cambios bruscos de estado, etc.

Características de las redes complejas

Las redes complejas presentan las siguientes características:

• Heterogeneidad en el conexionado.

  Se refiere a la existencia en la red de nodos con pocas, medias y muchas conexiones. No exite una conectividad característica.

• Efecto Small World.

  El fenómeno Small World, o Mundo Pequeño, indica que la distancia media entre cualquier par de nodos no conectados directamente es pequeña. Esta propiedad dota a las redes de alta eficiencia en la transmisión de información.

  A este respecto, el psicólogo S. Milgram, concluyó un experimento pionero en redes sociales: cada individuo constituye un nodo que se conecta a otro si son conocidos mutuos. El número de nodos intermedios, que separan en promedio a dos personas escogidas al azar de entre la población, es de seis personas, este resultado se conoce como 'seis grados'.

• Alto Coeficiente de Clustering.

  Indica elevada transitividad en la red.

• Alta Modularidad.

  Los módulos de la red son conjuntos de nodos muy interconectados. Algunas redes complejas presentan elevada modularidad. En estos casos, los módulos suelen organizarse jerárquicamente con una baja interconectividad.

Tipos de estructura de las redes

La clase de topología de la red se determina a partir de su Distribución de Grados P (k), las más importantes son:

• Topología de Poisson.
• Topología Exponencial.
• Topología Libre de Escala.

En las redes de Poisson (figuras 7 y 8) y Exponenciales todos los nodos tienen un número similar de conexiones, es decir, las conexiones están distribuidas homogeneamente entre sus nodos.

Las redes Libres de Escala poseen alta heterogeneidad, al contener nodos con pocas, medias y muchas conexiones. El valor medio de la distribución no es representativo de la conectividad de la red. La mayoría de los vértices tienen baja conectividad y alta solo unos pocos(figuras 9 y 10).

Una propiedad especialmente importante de las redes Libres de Escala, es la robustez de sus conexiones frente a la supresión aleatoria de nodos. En estas redes es más probable la eliminación de un nodo poco conectado que la de uno muy conectado, aunque la supresión de un hub puede producir un cambio en el sistema que cause su fragmentación.

Un ejemplo de lo anterior son las mutaciones en genes, que ocurren constantemente en el proceso de copiado de material genético y la mayor parte de las veces no tienen ningún efecto. Sin embargo, si muta un gen altamente conectado las consecuencias pueden ser catastróficas. Así, el gen p35 es un elemento altamente conectado, se ha observado que ciertos individuos con tumores cancerígenos presentan este gen mutado.

Modelos de construcción de redes

Existen dos clases de procedimientos (Modelos Matemáticos) para confeccionar una red con determinadas propiedades estructurales: Modelos Estadísticos y Modelos Dinámicos.

Los Modelos Estadísticos son expresiones simbólicas en forma de ecuación que contienen los factores que modifican la variable aleatoria de respuesta. Este tipo de modelos se basan en la idea de que la red es producto de un proceso aleatorio y emplean únicamente parámetros estadísticos en su definición.

Los más populares son los Modelos de Grafos Aleatorios de Erdos-Renyi de mediados del siglo XX y el Modelo de Watts y Strogatz (WS) propuesto en 1998.

El Modelo de Grafos Aleatorios construye la red enlazando nodos elegidos al azar según determinada probabilidad (Figura 12).

El modelo WS transforma una red ordenada (una malla) en una red aleatoria al recablear enlaces (Figura 13) añadiendo o moviendo los ya existentes.

Los Modelos Estadísticos permiten construir redes con homogeneidad en el conexionado. Las redes originadas por el Modelo de Grafos Aleatorios tienen la propiedad Small World y bajo Coeficiente de Clustering, las creadas a través del Modelo WS poseen característica Small World y alto Coeficiente de Clustering. Estos modelos no logran reproducir las características de los sistemas complejos.

Los Modelos Dinámicos consideran las redes como sistemas con interacciones que varían en el tiempo según determinadas leyes. Se llaman también Modelos de Crecimiento o de Evolución ya que imitan los procesos de crecimiento mediante la adición gradual de nodos o enlaces. Los más populares son los modelos de Enlace Preferencial de Barabási y Albert (1999) y el de Duplicación de de Pastor Santorras y colaboradores (2003).

Estos modelos logran reproducir la heterogeneidad en el conexionado, la Distribución de Grados, el Coeficiente de Clustering y el efecto Small World observados en sistemas complejos.

El Modelo de Enlace Preferencial asume que la conexión de los nuevos nodos añadidos al sistema está regulada por la cantidad de conexiones de los ya presentes. Es decir, los nuevos elementos se unirán con mayor probabilidad a los más conectados ya ubicados en la red.

El Modelo de Duplicación asume que el origen de los nuevos elementos añadidos a la red es interno. Los nodos se duplican y se unen a los ya existentes según determinada probalidad.

• REDES ARTIFICIALES V/S NATURALES

Las redes naturales evolucionan por adaptación al entorno. A diferencia de éstas, el origen de una red artificial, como Internet, está basado en un diseño humano inteligente. Sin embargo, a pesar de esa diferencia, presentan características topológicas análogas.

La figura 16 muestra la estructura de la red de Internet y la de interacción proteica de un microorganismo.

La similitud estructural de las redes, como las del ejemplo anterior, se corrobora con los datos topológicos mostrados en la tabla 1.

Se observa que el exponente (γ) de la topología Libre de Escala, la Longitud Promedio entre nodos (L) y el Coeficiente de Clustering (C) son muy parecidos.

También se aprecia que estas redes son complejas pues presentan una estructura Libre de Escala, un bajo valor de la Longitud Promedio (efecto Small World) entre nodos L y un alto Coeficiente de Clustering C.

• CONCLUSIONES

Sorprende que la topología Libre de Escala se encuentre en redes tan diferentes y de tanta variedad como las indicadas en la Tabla 1. Lo que sugiere que podría existir un mecanismo generador de este tipo de redes a diferentes niveles de organización, desde las pequeñas redes intracelulares hasta las grandes redes sociales o informáticas. ¿Podría ser esto posible?, ¿será cierto que la formación de redes tan diferentes como la red de interacciones proteicas de S. Cerevisiae (levadura), la red Internet y la red de actores de cine, esté gobernada por la misma ley fundamental?.

Las similitudes estructurales entre redes de distinta naturaleza parecen indicar que no existen diferencias en la topología de los sistemas complejos naturales y artificiales. Las propiedades complejas son universales.

También es llamativo que tantos sistemas artificiales posean topologías Libres de Escala.

Todavía hoy los investigadores intentan averiguar por qué las redes reales se ajustan a la topología Libre de Escala, existiendo un fuerte debate.

Para algunos, esta estructura se mantiene por mecanismos de selección natural (Darwinianos) al poseer características óptimas como alta robustez y eficiencia en la transmisión de información. Sin embargo para otros, es una propiedad emergente del sistema.

Por otro lado, esta topología parece surgir como consecuencia de ser la red espontáneamente atraída, en su evolución temporal, hacia un estado crítico. Este mecanismo recibe el nombre científico de Criticidad Autoorganizada (SOC).

Autores: Rosa María Benito Zafrilla, Juan Pablo Cárdenas Villalobos. Grupo de Sistemas Complejos – Universidad Politécnica de Madrid UPM). Mary Luz Mouronte López. Telefónica I+D

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